Statsvetenskapliga metoder

Regressionsanalys

Sirus Dehdari

Statsvetenskapliga institutionen, Stockholms universitet

Varför regressionsanalys?

• Vi är ofta intresserade av att undersöka samband mellan olika variabler
• Är arbetslösa medborgare mer benägna att stödja högerradikala partier?
• Är det mindre korruption i demokratiska länder?
• Finns det ett samband mellan inkomst och valdeltagande?
• I generisk form: finns det ett samband mellan variabeln \(X\) och variabeln \(Y\)?

Denna vecka ska vi lära oss följande

• Förstå hur regressionsanalys kan hjälpa oss undersöka dessa typer av samband
• I synnerhet:
  • Är sambandet positivt eller negativt (eller finns det inget samband)?
  • Hur starkt är sambandet?
  • Är det verkligen ett statistiskt signifikant samband?
  • Hur mycket av variationen i \(Y\) kan förklaras av \(X\)?
• Kapitel 5.1 i Österman och Folke
• Nästa vecka: vad händer när vi “kontrollerar” för fler variabler (multipel regressionsanalys)

Dagens föreläsning

• Linjära samband
• Regressionslinje
• Passning
• Statistisk signifikans (inferens)
• Tolka regressionsresultat

Inomhustemperatur (igen!)

• Vi är tillbaka på Landsbygds- och infrastrukturdepartementet
• Nu är vi intresserade av att förstå varför vissa hushåll har lägre inomhustemperatur jämfört med andra hushåll
• Någon på departementet föreslår att det finns ett samband mellan inkomst och inomhustemperatur
• Antag att det finns ett linjärt samband mellan dessa två variabler
• Vanligtvis är det enklast att beskriva ett samband mellan två variabler som ett linjärt samband

Konvertera från en enhet till en annan

• Vad är ett linjärt samband?
• Antag att vi hittar ett recept där måtten återges i cups men vi är vana vid att använda ml och dl
• Det finns ett samband mellan cups och t.ex. dl:

\[deciliter = 2{,}366 \times cups\]

• Enligt receptet ska ugnen upp i en viss temperatur, angett i Celsius men du är van vid Fahrenheit:

\[Fahrenheit = 32 + 1{,}8 \times Celsius\]

Exempel: Cups till deciliter

Exempel: Cups till deciliter

Exempel: Cups till deciliter

Linjärt samband

• För varje värde på \(x\)-axeln (cups) får vi ett värde på \(y\)-axeln
• Exempel: När \(cups = 1\) är \(deciliter = 2{,}36588\); när \(cups = 2\) är \(deciliter = 4{,}73176\)
• När \(cups = 0\) är \(deciliter = 0\) (så klart)
• Dock behöver inte \(x = 0\) ge \(y = 0\) hos andra samband

Celsius till Fahrenheit

Celsius till Fahrenheit

Linjär ekvation

• Ett linjärt samband kan beskrivas med en linjär ekvation:

\[y = kx + m\]

• Riktningskoefficienten för linjen ges av \(k\) medan \(m\) är konstanten
• Cups till deciliter: \(m = 0\) och \(k= 2{,}36588\)
• Celsius till Fahrenheit, \(m=32\) och \(k= 1{,}8\)

Linjär ekvation

• Inom statistik använder man en modifierad version

\[y = a + bx\]

• Riktningskoefficienten, även kallat lutningskoefficienten, för linjen ges av \(b\) medan \(a\) är konstanten
• Vi kallar \(y\) för den beroende variabeln medan \(x\) kallas för den oberoende variabeln
• Om \(b\) är större än noll är sambandet positivt
• Om \(b\) är mindre än noll är sambandet negativt
• Om \(b\) är lika med noll finns inget samband

Positivt, negativt, eller inget samband

// One-time (non-reactive) global listener: on mobile, rotating the
// screen fires "orientationchange" while iOS Safari is still mid-way
// through animating the address bar/viewport, so reveal.js's own
// resize handler picks up transitional (wrong) dimensions and mis-
// scales the slide -- which is what made every interactive figure
// disappear until a full reload. Re-running reveal.js's own layout
// pass a moment after rotation, once the viewport has settled, fixes
// this without touching any figure's own code.
orientationRelayout = {
  window.addEventListener("orientationchange", () => {
    setTimeout(() => {
      if (typeof Reveal !== "undefined" && Reveal.layout) Reveal.layout();
    }, 400);
  });
  return null;
}

mutable relType = null

html`<div class="rel-buttons-wrap">
  <div class="rel-buttons-title">Samband</div>
  <div class="sd-buttons">
    ${Inputs.button("Positivt", { value: null, reduce: () => { mutable relType = "pos"; return null; } })}
    ${Inputs.button("Negativt", { value: null, reduce: () => { mutable relType = "neg"; return null; } })}
    ${Inputs.button("Inget", { value: null, reduce: () => { mutable relType = "none"; return null; } })}
  </div>
</div>`

html`<div class="rel-equation">${relType ? relEquation(relType) : ""}</div>`

relWidth = 640
relHeight = 500
relMarginLeft = 40
relMarginRight = 55
relMarginTop = 45
relMarginBottom = 30
relXDomain = [-0.4, 4.4]
relYDomain = [-1.3, 4.8]
relGridStep = 0.5

relXScale = d3.scaleLinear().domain(relXDomain).range([relMarginLeft, relWidth - relMarginRight])
relYScale = d3.scaleLinear().domain(relYDomain).range([relHeight - relMarginBottom, relMarginTop])

relXTicks = d3.range(Math.ceil(relXDomain[0] / relGridStep) * relGridStep, relXDomain[1] + 1e-9, relGridStep)
relYTicks = d3.range(Math.ceil(relYDomain[0] / relGridStep) * relGridStep, relYDomain[1] + 1e-9, relGridStep)

function relLineFn(type, x) {
  if (type === "pos") return 2 + 0.5 * x;
  if (type === "neg") return 2 - 0.5 * x;
  return 2;
}
function relColor(type) {
  return type === "pos" ? "#2563eb" : type === "neg" ? "#dc2626" : "#6b7280";
}
function relEquation(type) {
  if (type === "pos") return "Y = 2 + 0,5X";
  if (type === "neg") return "Y = 2 − 0,5X";
  return "Y = 2";
}

// Swedish comma-decimal formatter for the hover tooltip (e.g. "2,5"),
// trimming trailing zeros so whole numbers show as "1" not "1,00".
function svFmt(v) {
  const r = Math.round(v * 100) / 100;
  const s = r.toFixed(2).replace(/0+$/, "").replace(/\.$/, "");
  return s.replace(".", ",");
}

// Built fresh from scratch whenever relType changes (cheap -- no
// animation to preserve across redraws, unlike the CLT/pizza figures
// elsewhere in this deck), so hover/tap handlers below are always
// closures over the *current* relType and line.
relSvg = {
  const svg = d3.create("svg")
    .attr("viewBox", `0 0 ${relWidth} ${relHeight}`)
    .attr("width", relWidth)
    .attr("height", relHeight)
    .attr("class", "rel-svg")
    .style("touch-action", "none");

  const xAxisY = relYScale(0);
  const yAxisX = relXScale(0);

  const gridG = svg.append("g");
  for (const gx of relXTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", relXScale(gx)).attr("x2", relXScale(gx))
      .attr("y1", relMarginTop).attr("y2", relHeight - relMarginBottom)
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }
  for (const gy of relYTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", relMarginLeft).attr("x2", relWidth - relMarginRight)
      .attr("y1", relYScale(gy)).attr("y2", relYScale(gy))
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }

  svg.append("line")
    .attr("x1", relXScale(relXDomain[0])).attr("x2", relXScale(relXDomain[1]))
    .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);
  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", yAxisX)
    .attr("y1", relYScale(relYDomain[0])).attr("y2", relYScale(relYDomain[1]))
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);

  const xTipX = relXScale(relXDomain[1]);
  svg.append("path")
    .attr("d", `M ${xTipX} ${xAxisY} L ${xTipX - 9} ${xAxisY - 5} L ${xTipX - 9} ${xAxisY + 5} Z`)
    .attr("fill", "#333");
  const yTipY = relYScale(relYDomain[1]);
  svg.append("path")
    .attr("d", `M ${yAxisX} ${yTipY} L ${yAxisX - 5} ${yTipY + 9} L ${yAxisX + 5} ${yTipY + 9} Z`)
    .attr("fill", "#333");

  svg.append("text")
    .attr("x", xTipX).attr("y", xAxisY + 22)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 18).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("X");
  svg.append("text")
    .attr("x", yAxisX - 10).attr("y", yTipY + 4)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 18).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Y");

  // Numeric tick marks/labels along both axes. The x=0 label is
  // skipped here since the y-axis tick loop already draws a single
  // "0" right at the origin -- drawing it twice would just overlap.
  const tickG = svg.append("g");
  for (const gx of relXTicks) {
    if (gx === 0) continue;
    const px = relXScale(gx);
    tickG.append("line")
      .attr("x1", px).attr("x2", px)
      .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY + 5)
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    tickG.append("text")
      .attr("x", px).attr("y", xAxisY + 19)
      .attr("text-anchor", "middle").attr("font-size", 13)
      .attr("fill", "#555").text(svFmt(gx));
  }
  for (const gy of relYTicks) {
    const py = relYScale(gy);
    tickG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX - 5).attr("x2", yAxisX)
      .attr("y1", py).attr("y2", py)
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    // The origin's "0" sits diagonally down-left of the axis crossing
    // instead of directly left, so it doesn't crowd either axis line.
    if (gy === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", yAxisX - 10).attr("y", py + 16)
        .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 13)
        .attr("fill", "#555").text(svFmt(gy));
    } else {
      tickG.append("text")
        .attr("x", yAxisX - 9).attr("y", py + 4)
        .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 13)
        .attr("fill", "#555").text(svFmt(gy));
    }
  }

  if (relType) {
    const x0 = relXDomain[0], x1 = relXDomain[1];
    const y0 = relLineFn(relType, x0), y1 = relLineFn(relType, x1);
    svg.append("line")
      .attr("x1", relXScale(x0)).attr("y1", relYScale(y0))
      .attr("x2", relXScale(x1)).attr("y2", relYScale(y1))
      .attr("stroke", relColor(relType)).attr("stroke-width", 3);

    const hoverG = svg.append("g").attr("display", "none");
    // Dashed projection lines out to each axis, drawn first so the
    // dot/glow/text sit visually on top of them.
    const hoverGuideY = hoverG.append("line")
      .attr("stroke", relColor(relType)).attr("stroke-opacity", 0.55)
      .attr("stroke-width", 1).attr("stroke-dasharray", "4,3");
    const hoverGuideX = hoverG.append("line")
      .attr("stroke", relColor(relType)).attr("stroke-opacity", 0.55)
      .attr("stroke-width", 1).attr("stroke-dasharray", "4,3");
    hoverG.append("circle").attr("class", "rel-hover-glow").attr("r", 9)
      .attr("fill", relColor(relType)).attr("fill-opacity", 0.25);
    hoverG.append("circle").attr("class", "rel-hover-dot").attr("r", 4)
      .attr("fill", relColor(relType));
    const hoverText = hoverG.append("text")
      .attr("text-anchor", "middle")
      .attr("font-size", 14)
      .attr("fill", relColor(relType));

    function showHover(x, y) {
      const px = relXScale(x), py = relYScale(y);
      hoverG.attr("display", null);
      // Out to the y-axis (horizontal) and down to the x-axis (vertical).
      hoverGuideY.attr("x1", px).attr("y1", py).attr("x2", yAxisX).attr("y2", py);
      hoverGuideX.attr("x1", px).attr("y1", py).attr("x2", px).attr("y2", xAxisY);
      hoverG.select(".rel-hover-glow").attr("cx", px).attr("cy", py);
      hoverG.select(".rel-hover-dot").attr("cx", px).attr("cy", py);
      hoverText.attr("x", px).attr("y", py - 14).text(`X = ${svFmt(x)}, Y = ${svFmt(y)}`);
    }
    function hideHover() {
      hoverG.attr("display", "none");
    }

    // Snap-candidates are the line's own points at each relGridStep
    // x-step (the same spacing as the background grid). Pixel radius is
    // derived from the actual on-screen spacing between them, kept
    // just under half a step, so neighbouring points never fight over
    // the same pointer position.
    const pixelStep = Math.abs(relXScale(relGridStep) - relXScale(0));
    const mouseRadius = pixelStep * 0.45;
    const touchRadius = pixelStep * 0.48;

    function nearestCandidate(mx, my) {
      let best = null, bestDist = Infinity;
      for (const gx of relXTicks) {
        const gy = relLineFn(relType, gx);
        const px = relXScale(gx), py = relYScale(gy);
        const d = Math.hypot(px - mx, py - my);
        if (d < bestDist) { bestDist = d; best = { x: gx, y: gy, dist: d }; }
      }
      return best;
    }

    const overlay = svg.append("rect")
      .attr("x", relMarginLeft).attr("y", relMarginTop)
      .attr("width", relWidth - relMarginLeft - relMarginRight)
      .attr("height", relHeight - relMarginTop - relMarginBottom)
      .attr("fill", "transparent")
      .style("cursor", "pointer");

    // Mouse/pen: continuous hover as the pointer moves.
    overlay.on("pointermove", (event) => {
      if (event.pointerType === "touch") return;
      const [mx, my] = d3.pointer(event);
      const cand = nearestCandidate(mx, my);
      if (cand && cand.dist <= mouseRadius) showHover(cand.x, cand.y);
      else hideHover();
    });
    overlay.on("pointerleave", () => hideHover());

    // Touch (and mouse, harmlessly): tap to show, tap elsewhere to hide.
    overlay.on("click", (event) => {
      const [mx, my] = d3.pointer(event);
      const cand = nearestCandidate(mx, my);
      if (cand && cand.dist <= touchRadius) showHover(cand.x, cand.y);
      else hideHover();
    });
  }

  return svg.node();
}

html`<div class="ojs-plot-wrap">${relSvg}</div>`

Linjär ekvation

• Hittills har vi sett exempel på ett exakt linjärt samband
• Prickarna representerar våra data: alla prickar ligger på linjen
• Samband är dock sällan exakta; oftast är de inexakta
• Det kan bero på att vi inte alltid kan göra exakta mätningar
• Dock mer troligt att vi studerar komplexa samband

Inkomst och inomhustemperatur

• Tillbaka till vårt scenario: vi vill förstå vad som avgör vilken inomhustemperatur hushållen väljer att ha
• De med högre inkomst är mer benägna att ha råd med högre elkostnader
• Rimligt att anta ett positivt samband mellan inkomst och inomhustemperatur
• Men vi ska inte anta att sambandet är exakt eftersom hushållens inomhustemperatur också påverkas av andra faktorer

Exempel: uppgifter om temperatur

• Antag att vi har ett slumpmässigt urval av 15 hushåll

Hushålls-ID	Inomhustemperatur	Månadsinkomst (i tusentals SEK)
1	18,3	13,4
2	19,5	13,6
3	20,5	26,9
4	20,8	33,5
5	18,5	14,4
6	20,4	44,0
7	17,2	20,3
8	15,9	16,6
9	22,3	28,8
10	16,6	35,0
11	21,6	28,9
12	25,4	42,3
13	19,7	27,8
14	23,5	24,7
15	18,0	29,2

Finns det ett linjärt samband?

• Det verkar som att de med högre inkomst också har en högre inomhustemperatur
• Dock är det troligen inte ett exakt linjärt samband
• Vi behöver en modifierad ekvation för att ta hänsyn till att sambandet inte är exakt:

\[Y_i = a + b X_i + e_i\]

• Parametrarna \(a\) och \(b\) representerar konstanten (intercept) och lutningskoefficienten,förra ekvationen
• Feltermen \(e_i\) kompenserar för det faktum att observationerna avviker från den räta linjen

Utforska data: temperatur och inkomst

• Graf
• Data

mutable selectedHH = null

// One-time (non-reactive, no dependencies -- runs exactly once) global
// listener: clicking anywhere that isn't a data point or a Data-tab
// table row closes the currently open info box and returns to plain
// hover mode.
hhClickAwayListener = {
  document.addEventListener("click", (event) => {
    if (event.target.closest(".hh-dot, .hh-hit, .hh-row")) return;
    mutable selectedHH = null;
  });
  return null;
}

hhData = [
  {id: 1, temp: 18.3, income: 13.4},
  {id: 2, temp: 19.5, income: 13.6},
  {id: 3, temp: 20.5, income: 26.9},
  {id: 4, temp: 20.8, income: 33.5},
  {id: 5, temp: 18.5, income: 14.4},
  {id: 6, temp: 20.4, income: 44.0},
  {id: 7, temp: 17.2, income: 20.3},
  {id: 8, temp: 15.9, income: 16.6},
  {id: 9, temp: 22.3, income: 28.8},
  {id: 10, temp: 16.6, income: 35.0},
  {id: 11, temp: 21.6, income: 28.9},
  {id: 12, temp: 25.4, income: 42.3},
  {id: 13, temp: 19.7, income: 27.8},
  {id: 14, temp: 23.5, income: 24.7},
  {id: 15, temp: 18.0, income: 29.2}
]

// Swedish comma-decimal formatter for this figure specifically: always
// one decimal (e.g. "44,0", not "44"), so numbers line up visually with
// the printed table on the previous slide instead of dropping trailing
// zeros like svFmt does on the Positivt/Negativt figure.
function hhFmt(v) {
  return v.toFixed(1).replace(".", ",");
}

hhWidth = 760
hhHeight = 460
hhMarginLeft = 46
hhMarginRight = 20
hhMarginTop = 22
hhMarginBottom = 40
hhXDomain = [-2.5, 51]
hhYDomain = [14.5, 25.8]
hhXStep = 2
hhYStep = 1
hhXLabelStep = 10
hhYLabelStep = 5

hhXScale = d3.scaleLinear().domain(hhXDomain).range([hhMarginLeft, hhWidth - hhMarginRight])
hhYScale = d3.scaleLinear().domain(hhYDomain).range([hhHeight - hhMarginBottom, hhMarginTop])

hhXTicks = d3.range(Math.ceil(hhXDomain[0] / hhXStep) * hhXStep, hhXDomain[1] + 1e-9, hhXStep)
hhYTicks = d3.range(Math.ceil(hhYDomain[0] / hhYStep) * hhYStep, hhYDomain[1] + 1e-9, hhYStep)

mutable showRegLine = false

html`<div class="sd-buttons-wrap">
  <div class="sd-buttons">
    ${Inputs.button(showRegLine ? "Dölj regressionslinje" : "Visa regressionslinje", {
      value: null,
      reduce: () => { mutable showRegLine = !showRegLine; return null; }
    })}
  </div>
</div>`

// Rebuilt whenever selectedHH or showRegLine changes (click on a dot,
// a jump from the Data tab's table, or the regression-line button) --
// cheap with only 15 points, so no need for the imperative-DOM-patching
// approach used on continuous-hover figures elsewhere in this deck.
hhSvg = {
  const svg = d3.create("svg")
    .attr("viewBox", `0 0 ${hhWidth} ${hhHeight}`)
    .attr("width", hhWidth)
    .attr("height", hhHeight)
    .attr("class", "hh-svg")
    .style("touch-action", "none");

  const xAxisY = hhYScale(hhYDomain[0]);
  const yAxisX = hhXScale(hhXDomain[0]);

  const gridG = svg.append("g");
  for (const gx of hhXTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", hhXScale(gx)).attr("x2", hhXScale(gx))
      .attr("y1", hhMarginTop).attr("y2", xAxisY)
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }
  for (const gy of hhYTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX).attr("x2", hhWidth - hhMarginRight)
      .attr("y1", hhYScale(gy)).attr("y2", hhYScale(gy))
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }

  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", hhWidth - hhMarginRight)
    .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);
  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", yAxisX)
    .attr("y1", hhMarginTop).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);

  // Tick marks every hhXStep/hhYStep, but numeric labels only every
  // hhXLabelStep/hhYLabelStep -- so the grid is finer than what's
  // actually labelled.
  const tickG = svg.append("g");
  for (const gx of hhXTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", hhXScale(gx)).attr("x2", hhXScale(gx))
      .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY + 5)
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gx) % hhXLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", hhXScale(gx)).attr("y", xAxisY + 19)
        .attr("text-anchor", "middle").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gx));
    }
  }
  for (const gy of hhYTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX - 5).attr("x2", yAxisX)
      .attr("y1", hhYScale(gy)).attr("y2", hhYScale(gy))
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gy) % hhYLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", yAxisX - 10).attr("y", hhYScale(gy) + 5)
        .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gy));
    }
  }

  // "Inkomst" sits near the right end of the x-axis (anchor="end" so
  // it ends just inside the right edge instead of overflowing past
  // it). "Temperatur" sits near the top of the y-axis, close to the
  // "25" tick -- rotate(-90) around a point near the top plus
  // anchor="end" makes the text extend *downward* from that point
  // (not upward off the top edge of the figure).
  svg.append("text")
    .attr("x", hhWidth - hhMarginRight - 4)
    .attr("y", xAxisY - 6)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Inkomst");

  const yLabelAnchorY = hhMarginTop + 10;
  svg.append("text")
    .attr("x", yAxisX + 18).attr("y", yLabelAnchorY)
    .attr("transform", `rotate(-90, ${yAxisX + 18}, ${yLabelAnchorY})`)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Temperatur");

  // Regression line drawn before the dots (not after), so the data
  // points always sit visually on top of it.
  if (showRegLine) {
    const rx0 = hhXDomain[0], rx1 = hhXDomain[1];
    const ry0 = 16.43 + 0.13 * rx0, ry1 = 16.43 + 0.13 * rx1;
    svg.append("line")
      .attr("x1", hhXScale(rx0)).attr("y1", hhYScale(ry0))
      .attr("x2", hhXScale(rx1)).attr("y2", hhYScale(ry1))
      .attr("stroke", "#16a34a").attr("stroke-width", 2.5);
  }

  const dotsG = svg.append("g");
  const infoG = svg.append("g");

  function renderInfoBox(id) {
    infoG.selectAll("*").remove();
    const d = hhData.find(h => h.id === id);
    if (!d) return;
    const px = hhXScale(d.income), py = hhYScale(d.temp);
    const boxW = 128, boxH = 58;
    let bx = px + 10, by = py - boxH - 8;
    if (bx + boxW > hhWidth - 2) bx = px - boxW - 10;
    if (by < 2) by = py + 10;
    infoG.append("rect")
      .attr("x", bx).attr("y", by).attr("width", boxW).attr("height", boxH)
      .attr("rx", 6).attr("fill", "white").attr("fill-opacity", 0.95)
      .attr("stroke", "#999").attr("stroke-width", 1);
    const lines = [
      `Hushåll: ${d.id}`,
      `Temperatur: ${hhFmt(d.temp)}`,
      `Inkomst: ${hhFmt(d.income)}`
    ];
    lines.forEach((line, i) => {
      infoG.append("text")
        .attr("x", bx + 8).attr("y", by + 18 + i * 16)
        .attr("font-size", 12).attr("fill", "#333").text(line);
    });
  }

  const circleSel = dotsG.selectAll("circle")
    .data(hhData)
    .join("circle")
    .attr("class", "hh-dot")
    .attr("cx", d => hhXScale(d.income))
    .attr("cy", d => hhYScale(d.temp))
    .attr("fill-opacity", 0.85);

  function setDotStyle(id) {
    circleSel
      .attr("r", d => d.id === id ? 6 : 4)
      .attr("fill", d => d.id === id ? "#dc2626" : "#2563eb");
  }

  // Initial state reflects the *persistent* selection only (a click, or
  // a jump from the Data tab's table) -- this is the mutable-driven,
  // reactive part, rebuilt whenever selectedHH changes.
  setDotStyle(selectedHH);
  renderInfoBox(selectedHH);

  // Invisible, much larger hit-circles sit on top of the tiny visible
  // dots and carry all the pointer/click handlers -- a 4-6px visible
  // dot is far below the ~44px touch target Apple/Google recommend, so
  // tapping it accurately on a phone was close to impossible.
  const hitSel = dotsG.selectAll("circle.hh-hit")
    .data(hhData)
    .join("circle")
    .attr("class", "hh-hit")
    .attr("cx", d => hhXScale(d.income))
    .attr("cy", d => hhYScale(d.temp))
    .attr("r", 15)
    .attr("fill", "transparent")
    .style("cursor", "pointer");

  // Hover (mouse only -- touch has no hover state, so it's handled by
  // "click" below) is deliberately kept OUT of the mutable/reactive
  // graph: setting `mutable selectedHH` on pointerenter would rebuild
  // this whole SVG mid-hover, replacing the very circle the pointer is
  // sitting on, which silently suppressed the browser's own
  // pointerleave event and left the box stuck open. Direct DOM
  // manipulation instead keeps the actual hovered element alive for
  // its own pointerleave to fire normally, so moving the pointer away
  // -- even to empty space, not just onto another dot -- always closes
  // it. Once a selection is *locked in* (via a click, or a jump from
  // the Data tab's table), hover is ignored entirely instead of
  // transiently overriding it and then snapping back on pointerleave
  // -- that snap-back read as flickery/distracting. A locked box only
  // changes via a new click, or gets cleared by the page's click-away
  // listener (which also fires when switching back to the Data tab,
  // since that click isn't on a dot or a row either).
  hitSel
    .on("pointerenter", (event, d) => {
      if (event.pointerType === "touch") return;
      if (selectedHH !== null) return;
      setDotStyle(d.id);
      renderInfoBox(d.id);
    })
    .on("pointerleave", (event) => {
      if (event.pointerType === "touch") return;
      if (selectedHH !== null) return;
      setDotStyle(null);
      renderInfoBox(null);
    })
    .on("click", (event, d) => {
      mutable selectedHH = d.id;
    });

  return svg.node();
}

html`<div class="ojs-plot-wrap">${hhSvg}</div>`

html`<div class="hh-reg-note">${showRegLine ? "Prediktion av temperatur: Ŷ = 16,43 + 0,13 × X" : ""}</div>`

// Built with D3 (not a plain markdown table) so each row can get a real
// click listener -- clicking a row jumps to the Graf tab (by clicking
// its tab link, letting the tabby library handle the actual switch) and
// selects that household's point, popping its info box open.
hhTable = {
  const wrap = d3.create("div").attr("class", "hh-table-wrap");
  const table = wrap.append("table").attr("class", "hh-data-table");
  table.append("thead").append("tr")
    .selectAll("th")
    .data(["Hushålls-ID", "Inomhustemperatur", "Månadsinkomst (i tusentals SEK)"])
    .join("th")
    .text(d => d);
  const tbody = table.append("tbody");
  hhData.forEach(d => {
    const tr = tbody.append("tr").attr("class", "hh-row");
    tr.append("td").text(d.id);
    tr.append("td").text(hhFmt(d.temp));
    tr.append("td").text(hhFmt(d.income));
    tr.on("click", () => {
      // The tab link's own (synthetic) click also bubbles to the
      // document-level "click away" listener above, which would clear
      // selectedHH right back out -- so it must run *before* we set
      // the real value, not after.
      const tabsetEl = document.querySelector(".hh-graph-tabset");
      const firstLink = tabsetEl && tabsetEl.querySelector(".panel-tabset-tabby li:first-child a");
      if (firstLink) firstLink.click();
      mutable selectedHH = d.id;
    });
  });
  return wrap.node();
}

Regressionslinjen

• Regressionslinjen är tänkt att passa våra data och ges av ekvationen:

\[\hat{Y_i} = 16{,}43+0{,}13 \times X_i\]

• “Hatten” på \(Y_i\) indikerar att detta är modellens skattning (eller prediktion) av \(Y_i\)
• Lutningskoefficienten (\(b\)) mäter lutningen på regressionslinjen, och är i det här fallet lika med 0,13
• Tolkning av lutningskoefficienten: En enhetsökning i \(X\) förväntas öka \(Y\) med 0,13 enheter
• I vårt exempel: En ökning med 1000 SEK (varför?) förväntas öka inomhustemperaturen med 0,13 grader Celsius

Predicera inomhustemperaturen

• Konstanten (intercept) är lika med 16,43
• Tolkning av konstanten: När inkomst är lika med 0 förväntas rumstemperaturen vara lika med 16,43
• Det finns inte alltid en rimlig tolkning av konstanten (vad innebär 0 i inkomst?)
• Exempel: Förväntad inomhustemperatur hos ett hushålll som har en månadsinkomst på 30 000 SEK: 16,43 \(+\) 0,13 \(\times\) 30 \(=\) 20,33
• Men vänta nu: hur väljer man regressionslinjen?
• Finns det ingen annan linje som passar data bättre?

Andra möjliga linjer

• Dessa linjer då?

cmpWidth = 760
cmpHeight = 460
cmpMarginLeft = 46
cmpMarginRight = 20
cmpMarginTop = 22
cmpMarginBottom = 40
cmpXDomain = [-2.5, 51]
cmpYDomain = [14.5, 25.8]
cmpXStep = 2
cmpYStep = 1
cmpXLabelStep = 10
cmpYLabelStep = 5

cmpXScale = d3.scaleLinear().domain(cmpXDomain).range([cmpMarginLeft, cmpWidth - cmpMarginRight])
cmpYScale = d3.scaleLinear().domain(cmpYDomain).range([cmpHeight - cmpMarginBottom, cmpMarginTop])

cmpXTicks = d3.range(Math.ceil(cmpXDomain[0] / cmpXStep) * cmpXStep, cmpXDomain[1] + 1e-9, cmpXStep)
cmpYTicks = d3.range(Math.ceil(cmpYDomain[0] / cmpYStep) * cmpYStep, cmpYDomain[1] + 1e-9, cmpYStep)

// Three plausible-but-wrong alternative fits (none is the actual
// least-squares line), listed in hover-priority order: where two
// lines' hit areas overlap, the first one in this array wins.
cmpLines = [
  { a: 15.2, b: 0.16, color: "#2563eb", dash: "7,5" },
  { a: 18.1, b: 0.09, color: "#b45309", dash: "1.5,4" },
  { a: 14.8, b: 0.19, color: "#15803d", dash: null }
]

function cmpFmt(v, decimals = 2) {
  return v.toFixed(decimals).replace(".", ",");
}

function distToSegment(px, py, x1, y1, x2, y2) {
  const dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
  const lenSq = dx * dx + dy * dy;
  let t = lenSq === 0 ? 0 : ((px - x1) * dx + (py - y1) * dy) / lenSq;
  t = Math.max(0, Math.min(1, t));
  const cx = x1 + t * dx, cy = y1 + t * dy;
  return Math.hypot(px - cx, py - cy);
}

// Reuses hhData (defined once, on the "Utforska data" slide) -- points
// here are plain and non-interactive (no per-observation info boxes,
// removed to keep this figure from getting too busy alongside the
// three line tooltips).
cmpSvg = {
  const svg = d3.create("svg")
    .attr("viewBox", `0 0 ${cmpWidth} ${cmpHeight}`)
    .attr("width", cmpWidth)
    .attr("height", cmpHeight)
    .attr("class", "cmp-svg")
    .style("touch-action", "none");

  const xAxisY = cmpYScale(cmpYDomain[0]);
  const yAxisX = cmpXScale(cmpXDomain[0]);

  const gridG = svg.append("g");
  for (const gx of cmpXTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", cmpXScale(gx)).attr("x2", cmpXScale(gx))
      .attr("y1", cmpMarginTop).attr("y2", xAxisY)
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }
  for (const gy of cmpYTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX).attr("x2", cmpWidth - cmpMarginRight)
      .attr("y1", cmpYScale(gy)).attr("y2", cmpYScale(gy))
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }

  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", cmpWidth - cmpMarginRight)
    .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);
  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", yAxisX)
    .attr("y1", cmpMarginTop).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);

  const tickG = svg.append("g");
  for (const gx of cmpXTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", cmpXScale(gx)).attr("x2", cmpXScale(gx))
      .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY + 5)
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gx) % cmpXLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", cmpXScale(gx)).attr("y", xAxisY + 19)
        .attr("text-anchor", "middle").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gx));
    }
  }
  for (const gy of cmpYTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX - 5).attr("x2", yAxisX)
      .attr("y1", cmpYScale(gy)).attr("y2", cmpYScale(gy))
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gy) % cmpYLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", yAxisX - 10).attr("y", cmpYScale(gy) + 5)
        .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gy));
    }
  }

  svg.append("text")
    .attr("x", cmpWidth - cmpMarginRight - 4)
    .attr("y", xAxisY - 6)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Inkomst");

  const yLabelAnchorY = cmpMarginTop + 10;
  svg.append("text")
    .attr("x", yAxisX + 18).attr("y", yLabelAnchorY)
    .attr("transform", `rotate(-90, ${yAxisX + 18}, ${yLabelAnchorY})`)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Temperatur");

  const lineEls = cmpLines.map(ln => {
    const x0 = cmpXDomain[0], x1 = cmpXDomain[1];
    const y0 = ln.a + ln.b * x0, y1 = ln.a + ln.b * x1;
    const sel = svg.append("line")
      .attr("x1", cmpXScale(x0)).attr("y1", cmpYScale(y0))
      .attr("x2", cmpXScale(x1)).attr("y2", cmpYScale(y1))
      .attr("stroke", ln.color).attr("stroke-width", 2.5);
    if (ln.dash) sel.attr("stroke-dasharray", ln.dash);
    return { ...ln, x1p: cmpXScale(x0), y1p: cmpYScale(y0), x2p: cmpXScale(x1), y2p: cmpYScale(y1) };
  });

  const dotsG = svg.append("g");
  dotsG.selectAll("circle")
    .data(hhData)
    .join("circle")
    .attr("cx", d => cmpXScale(d.income))
    .attr("cy", d => cmpYScale(d.temp))
    .attr("r", 4)
    .attr("fill", "#6b7280")
    .attr("fill-opacity", 0.8);

  const tipG = svg.append("g").attr("display", "none");
  const tipRect = tipG.append("rect")
    .attr("rx", 6).attr("fill", "white").attr("fill-opacity", 0.95).attr("stroke-width", 1.5);
  const tipText = tipG.append("text").attr("font-size", 13);

  function showTip(mx, my, ln) {
    const label = `Ŷ = ${cmpFmt(ln.a)} + ${cmpFmt(ln.b)} × X`;
    tipText.text(label).attr("fill", ln.color);
    const boxW = label.length * 7.6 + 18;
    const boxH = 26;
    let bx = mx + 12, by = my - boxH - 8;
    if (bx + boxW > cmpWidth - 2) bx = mx - boxW - 12;
    if (by < 2) by = my + 12;
    tipRect.attr("x", bx).attr("y", by).attr("width", boxW).attr("height", boxH).attr("stroke", ln.color);
    tipText.attr("x", bx + 9).attr("y", by + 17);
    tipG.attr("display", null);
  }
  function hideTip() {
    tipG.attr("display", "none");
  }

  // Priority order = cmpLines order: where two lines' hit areas
  // overlap (near a crossing), the first match in the array wins.
  const hitRadius = 12;
  function findLine(mx, my) {
    for (const ln of lineEls) {
      if (distToSegment(mx, my, ln.x1p, ln.y1p, ln.x2p, ln.y2p) <= hitRadius) return ln;
    }
    return null;
  }

  const overlay = svg.append("rect")
    .attr("x", cmpMarginLeft).attr("y", cmpMarginTop)
    .attr("width", cmpWidth - cmpMarginLeft - cmpMarginRight)
    .attr("height", cmpHeight - cmpMarginTop - cmpMarginBottom)
    .attr("fill", "transparent");

  overlay.on("pointermove", (event) => {
    if (event.pointerType === "touch") return;
    const [mx, my] = d3.pointer(event);
    const ln = findLine(mx, my);
    if (ln) showTip(mx, my, ln); else hideTip();
  });
  overlay.on("pointerleave", () => hideTip());
  overlay.on("click", (event) => {
    const [mx, my] = d3.pointer(event);
    const ln = findLine(mx, my);
    if (ln) showTip(mx, my, ln); else hideTip();
  });

  return svg.node();
}

html`<div class="ojs-plot-wrap">${cmpSvg}</div>`

Minstakvadratmetoden

• Minstakvadratmetoden ger oss den linje som minimerar summan av kvadrerade avvikelser
• Varje observation kommer avvika från modellens prediktion (regressionslinjen)
• Minstakvadrarmetoden hittar den linjen som gör att summan av avvikelserna, i kvadrat, är så liten som möjligt
• Dessa avvikelser kallas för residualer och är lika med det faktiska värdet minus det predicerade värdet:

\[\hat{e}_i = Y_i - \hat{Y_i}\]

Avvikelser från regressionslinjen

• Graf
• Data

mutable residA = 16.43

mutable residB = 0.13

mutable residSelected = null

// A raw <input type="range"> + our own <span> readout, built by hand
// instead of via Inputs.range: this slide needs *two* independent
// copies of each slider (one in the Graf tab, one in the Data tab, see
// residSliderSync below) kept in sync with each other, which is far
// simpler to reason about with plain DOM elements we fully control
// than by fighting Inputs' own internal markup for a second instance.
function makeSlider(labelText, min, max, step, initial) {
  const wrap = document.createElement("div");
  wrap.className = "resid-slider";
  const label = document.createElement("span");
  label.className = "resid-slider-label";
  label.textContent = labelText;
  const input = document.createElement("input");
  input.type = "range";
  input.min = min; input.max = max; input.step = step; input.value = initial;
  const out = document.createElement("span");
  out.className = "resid-slider-value";
  out.textContent = cmpFmt(initial);
  wrap.append(input, out, label);
  return { wrap, input, out };
}

// Each pair is built once (no dependency on residA/residB), so
// dragging never tears down and rebuilds the input mid-gesture.
residSliderPairGraf = {
  const a = makeSlider("Intercept (a)", 5, 30, 0.01, 16.43);
  a.input.addEventListener("input", () => { mutable residA = Number(a.input.value); });
  const b = makeSlider("Lutningskoefficient (b)", -0.2, 0.5, 0.01, 0.13);
  b.input.addEventListener("input", () => { mutable residB = Number(b.input.value); });
  return { a, b };
}

residSliderPairData = {
  const a = makeSlider("Intercept (a)", 5, 30, 0.01, 16.43);
  a.input.addEventListener("input", () => { mutable residA = Number(a.input.value); });
  const b = makeSlider("Lutningskoefficient (b)", -0.2, 0.5, 0.01, 0.13);
  b.input.addEventListener("input", () => { mutable residB = Number(b.input.value); });
  return { a, b };
}

// Keeps *both* slider pairs' displayed position/text in sync with
// residA/residB, regardless of which pair (or the OLS button) caused
// the change -- this is what makes "what you change in one tab's
// sliders carries over to the other tab" actually true, since tabby
// only hides the inactive tab's DOM rather than destroying it (so an
// untouched copy would otherwise sit stale at its original value).
// Setting .value directly (not recreating the element) is safe to do
// even on the slider currently being dragged.
residSliderSync = {
  for (const pair of [residSliderPairGraf, residSliderPairData]) {
    if (Number(pair.a.input.value) !== residA) pair.a.input.value = residA;
    pair.a.out.textContent = cmpFmt(residA);
    if (Number(pair.b.input.value) !== residB) pair.b.input.value = residB;
    pair.b.out.textContent = cmpFmt(residB);
  }
  return null;
}

html`<div class="resid-sliders-row">${residSliderPairGraf.a.wrap}${residSliderPairGraf.b.wrap}</div>`

html`<div class="sd-buttons-wrap"><div class="sd-buttons">${
  Inputs.button("Minstakvadratmetodens regressionslinje", {
    value: null,
    reduce: () => {
      mutable residA = 16.43;
      mutable residB = 0.13;
      return null;
    }
  })
}</div></div>`

// Sum of squared deviations for the *current* slider values -- this is
// exactly what the least-squares line minimizes.
residSSE = hhData.reduce((acc, d) => {
  const pred = residA + residB * d.income;
  return acc + (d.temp - pred) ** 2;
}, 0)

// Reuses hhData/hhFmt/hhXScale/hhYScale/hhXTicks/hhYTicks/hhWidth/
// hhHeight/hhMargin*/hhXDomain/hhYDomain/hhXLabelStep/hhYLabelStep from
// the "Utforska data" slide -- same axes, grid, and ticks by
// construction, not just by copying numbers. Rebuilt whenever residA,
// residB, or residSelected changes: the first two are cheap, desired
// full redraws (that's the whole point -- the line should visibly move
// as the sliders move), same reasoning as the "Andra möjliga linjer"
// slide's static lines. Hover (mouse) still avoids the mutable/reactive
// path -- see the "Utforska data" slide's own hhSvg for why: replacing
// the hovered circle mid-hover breaks the browser's own pointerleave
// event.
residSvg = {
  const svg = d3.create("svg")
    .attr("viewBox", `0 0 ${hhWidth} ${hhHeight}`)
    .attr("width", hhWidth)
    .attr("height", hhHeight)
    .attr("class", "resid-svg")
    .style("touch-action", "none");

  const xAxisY = hhYScale(hhYDomain[0]);
  const yAxisX = hhXScale(hhXDomain[0]);

  const gridG = svg.append("g");
  for (const gx of hhXTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", hhXScale(gx)).attr("x2", hhXScale(gx))
      .attr("y1", hhMarginTop).attr("y2", xAxisY)
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }
  for (const gy of hhYTicks) {
    gridG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX).attr("x2", hhWidth - hhMarginRight)
      .attr("y1", hhYScale(gy)).attr("y2", hhYScale(gy))
      .attr("stroke", "#e5e5e5").attr("stroke-width", 1);
  }

  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", hhWidth - hhMarginRight)
    .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);
  svg.append("line")
    .attr("x1", yAxisX).attr("x2", yAxisX)
    .attr("y1", hhMarginTop).attr("y2", xAxisY)
    .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 2);

  const tickG = svg.append("g");
  for (const gx of hhXTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", hhXScale(gx)).attr("x2", hhXScale(gx))
      .attr("y1", xAxisY).attr("y2", xAxisY + 5)
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gx) % hhXLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", hhXScale(gx)).attr("y", xAxisY + 19)
        .attr("text-anchor", "middle").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gx));
    }
  }
  for (const gy of hhYTicks) {
    tickG.append("line")
      .attr("x1", yAxisX - 5).attr("x2", yAxisX)
      .attr("y1", hhYScale(gy)).attr("y2", hhYScale(gy))
      .attr("stroke", "#333").attr("stroke-width", 1);
    if (Math.round(gy) % hhYLabelStep === 0) {
      tickG.append("text")
        .attr("x", yAxisX - 10).attr("y", hhYScale(gy) + 5)
        .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 14)
        .attr("fill", "#555").text(String(gy));
    }
  }

  svg.append("text")
    .attr("x", hhWidth - hhMarginRight - 4)
    .attr("y", xAxisY - 6)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Inkomst");

  const yLabelAnchorY = hhMarginTop + 10;
  svg.append("text")
    .attr("x", yAxisX + 18).attr("y", yLabelAnchorY)
    .attr("transform", `rotate(-90, ${yAxisX + 18}, ${yLabelAnchorY})`)
    .attr("text-anchor", "end").attr("font-size", 16).attr("font-weight", "bold")
    .attr("fill", "#333").text("Temperatur");

  function predY(x) { return residA + residB * x; }

  const rx0 = hhXDomain[0], rx1 = hhXDomain[1];
  svg.append("line")
    .attr("x1", hhXScale(rx0)).attr("y1", hhYScale(predY(rx0)))
    .attr("x2", hhXScale(rx1)).attr("y2", hhYScale(predY(rx1)))
    .attr("stroke", "#2563eb").attr("stroke-width", 2.5);

  const dotsG = svg.append("g");
  const residG = svg.append("g");
  const infoG = svg.append("g");

  function renderSelection(id) {
    residG.selectAll("*").remove();
    infoG.selectAll("*").remove();
    const d = hhData.find(h => h.id === id);
    if (!d) return;
    const px = hhXScale(d.income);
    const pyActual = hhYScale(d.temp);
    const predicted = predY(d.income);
    const pyPred = hhYScale(predicted);
    const eHat = d.temp - predicted;

    // Dashed vertical line between the observation and the *current*
    // regression line -- this is what a residual looks like.
    residG.append("line")
      .attr("x1", px).attr("y1", pyActual)
      .attr("x2", px).attr("y2", pyPred)
      .attr("stroke", "#dc2626").attr("stroke-width", 1.5).attr("stroke-dasharray", "4,3");

    const boxW = 128, boxH = 74;
    let bx = px + 10, by = Math.min(pyActual, pyPred) - boxH - 8;
    if (bx + boxW > hhWidth - 2) bx = px - boxW - 10;
    if (by < 2) by = Math.max(pyActual, pyPred) + 10;
    infoG.append("rect")
      .attr("x", bx).attr("y", by).attr("width", boxW).attr("height", boxH)
      .attr("rx", 6).attr("fill", "white").attr("fill-opacity", 0.95)
      .attr("stroke", "#999").attr("stroke-width", 1);
    const lines = [
      `Hushåll: ${d.id}`,
      `Temperatur: ${hhFmt(d.temp)}`,
      `Inkomst: ${hhFmt(d.income)}`,
      `ê: ${cmpFmt(eHat)}`
    ];
    lines.forEach((line, i) => {
      infoG.append("text")
        .attr("x", bx + 8).attr("y", by + 18 + i * 16)
        .attr("font-size", 12).attr("fill", "#333").text(line);
    });
  }

  const circleSel = dotsG.selectAll("circle")
    .data(hhData)
    .join("circle")
    .attr("class", "resid-dot")
    .attr("cx", d => hhXScale(d.income))
    .attr("cy", d => hhYScale(d.temp))
    .attr("fill-opacity", 0.85);

  function setDotStyle(id) {
    circleSel
      .attr("r", d => d.id === id ? 6 : 4)
      .attr("fill", d => d.id === id ? "#dc2626" : "#2563eb");
  }

  setDotStyle(residSelected);
  renderSelection(residSelected);

  // Invisible, much larger hit-circles sit on top of the tiny visible
  // dots and carry all the pointer/click handlers -- a 4-6px visible
  // dot is far below the ~44px touch target Apple/Google recommend, so
  // tapping it accurately on a phone was close to impossible.
  const hitSel = dotsG.selectAll("circle.resid-hit")
    .data(hhData)
    .join("circle")
    .attr("class", "resid-hit")
    .attr("cx", d => hhXScale(d.income))
    .attr("cy", d => hhYScale(d.temp))
    .attr("r", 15)
    .attr("fill", "transparent")
    .style("cursor", "pointer");

  hitSel
    .on("pointerenter", (event, d) => {
      if (event.pointerType === "touch") return;
      setDotStyle(d.id);
      renderSelection(d.id);
    })
    .on("pointerleave", (event) => {
      if (event.pointerType === "touch") return;
      setDotStyle(residSelected);
      renderSelection(residSelected);
    })
    .on("click", (event, d) => {
      mutable residSelected = d.id;
    });

  return svg.node();
}

html`<div class="ojs-plot-row">
  <div class="ojs-plot-wrap">${residSvg}</div>
  <div class="ojs-plot-caption">Σ(Yᵢ − Ŷᵢ)²<br>= ${cmpFmt(residSSE)}</div>
</div>`

// Same sliders, same position (top of the tab, above the table) as the
// Graf tab -- kept in sync by residSliderSync above -- so switching
// tabs doesn't visually jump, and a change made here is still reflected
// back in the Graf tab's line/info box when you switch back.
html`<div class="resid-sliders-row">${residSliderPairData.a.wrap}${residSliderPairData.b.wrap}</div>`

// Same button, same effect, as the Graf tab -- it only ever sets
// residA/residB, and residSliderSync above is what actually moves
// both slider pairs' displayed position, so a second Inputs.button
// instance here needs no extra wiring.
html`<div class="sd-buttons-wrap"><div class="sd-buttons">${
  Inputs.button("Minstakvadratmetodens regressionslinje", {
    value: null,
    reduce: () => {
      mutable residA = 16.43;
      mutable residB = 0.13;
      return null;
    }
  })
}</div></div>`

// Recomputes ê and ê² for all 15 rows from the *current* slider
// values, plus a footer row totalling ê² -- i.e. exactly residSSE,
// reused rather than recomputed -- so this table always reflects
// whichever line is shown in the Graf tab.
residTable = {
  const wrap = d3.create("div").attr("class", "resid-table-wrap");
  const table = wrap.append("table").attr("class", "resid-data-table");
  table.append("thead").append("tr")
    .selectAll("th")
    .data(["Hushålls-ID", "Inomhustemperatur", "Månadsinkomst (i tusentals SEK)", "ŷ", "ê", "ê²"])
    .join("th")
    .text(d => d);
  const tbody = table.append("tbody");
  hhData.forEach(d => {
    const pred = residA + residB * d.income;
    const eHat = d.temp - pred;
    const tr = tbody.append("tr").attr("class", "resid-row");
    tr.append("td").text(d.id);
    tr.append("td").text(hhFmt(d.temp));
    tr.append("td").text(hhFmt(d.income));
    tr.append("td").text(cmpFmt(pred));
    tr.append("td").text(cmpFmt(eHat));
    tr.append("td").text(cmpFmt(eHat * eHat));
  });
  const tfoot = table.append("tfoot").append("tr");
  tfoot.append("td")
    .attr("colspan", 5)
    .attr("class", "resid-sum-label")
    .text("Summan av kvadrerade avvikelser, Σê² =");
  tfoot.append("td").attr("class", "resid-sum-value").text(cmpFmt(residSSE));
  return wrap.node();
}

Residualer

• Som vi såg i grafen passar inte regressionslinjen exakt med data
• Exempel: hushåll 12 har inkomst på 42 300 SEK
• Enligt modellen ska det hushållets temperatur vara lika med 16,43 \(+\) 0,13 \(\times\) 42,3 \(=\) 21,9
• Dock är deras faktiska temperatur lika med 25,4, därmed är \(\hat{e}_i =\) 3,5

Modellpassning

• För den specifika observationen var inte modellen särskilt bra på att prediktera temperaturen
• Men den är bättre på att prediktera andra observationer
• Modellpassning mäter hur väl regressionslinjen passar data överlag
• Måtten bygger på residualerna, det vill säga observationernas avvikelser från modellens prediktioner
• Det vanligaste passningsmåttet är \(R^2\) och Root-MSE

\(R\)-kvadrat: \(R^2\)

• \(R^2\) mäter hur mycket av variationen i den beroende variabeln \(Y\) som kan förklaras av modellen (i detta fall den oberoende variabeln \(X\))
• \(R^2\) antar ett värde mellan 0 och 1 där \(R^2\) = 0 innebär att modellen inte förklarar något av variationen i den beroende variabeln
• Medan \(R^2\) = 1 innebär att modellen förklarar variationen i den beroende variabeln fullt ut
• I exemplet med temperatur och inkomst är \(R^2\) = 0,173, vilket innebär att inkomst förklarar 17,3% av variationen i temperatur

Att beräkna \(R^2\)

• I denna kurs behöver ni inte lära er beräkna \(R^2\)
• Men ni måste veta hur man tolkar det
• Här är formeln:

\[R^2 = 1 - \frac{RSS}{TSS} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^n(Y_i-\hat{Y_i})^2}{\sum_{i = 1}^n(Y_i-\bar{Y_i})^2}\]

• \(RSS\) (Residual Sum of Squares på engelska) är summan av de kvadrerade residualerna
• \(TSS\) (Total Sum of Squares på engelska) är summan av de kvadrerade avvikelserna till urvalsmedelvärdet för \(Y\)

Root-MSE

• Root-MSE mäter den genomsnittliga avvikelsen från regressionslinjen
• Ett högt värde indikerar att modellen inte passar data så väl
• Måttet anges i samma enhet som den beroende variabeln
• I rumstemperaturexemplet: Root-MSE är lika med 2,21
• Det betyder att, i våra data, avviker hushållstemperaturen, i genomsnitt, med 2,21 grader Celsius från regressionslinjen

Att beräkna Root-MSE

• I denna kurs behöver ni inte lära er beräkna Root-MSE
• Men ni måste veta hur man tolkar det
• Här är formeln:

\[\textit{Root-MSE} = \sqrt{\frac{RSS}{n-k}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^n(Y_i-\hat{Y_i})^2}{n-k}}\]

• Där \(k\) är antalet parametrar vi skattar i modellen (i en bivariat regressionsmodell skattar vi parametrarna \(a\) och \(b\))

Antaganden bakom minstakvadratmetoden

• Minstakvadratmetoden bygger på ett antal antaganden (Gauss-Markov-antagandena)
• Är antagandena uppfyllda är skattningen BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)
• Vi hinner inte gå igenom dem i detalj i denna kurs, men värt att känna till:
  1. Linjäritet i parametrarna
  2. Slumpmässigt urval
  3. Nollvillkorat medelvärde (exogenitet)
  4. Homoskedasticitet
• Mer om varje antagande (överkurs): Läs mer

Modellstyrka och -passning

• Viktigt: styrkan i ett samband (ges av \(b\)) är inte samma sak som modellpassning (ges av \(R^2\) eller Root-MSE)

Kort sammanfattning

• Än så länge har vi diskuterar exakta och inexakta samband
• Vi specificerar en regressionsmodell som betecknas av en linjär ekvation
• Vi såg ett exempel med en regressionslinje som representerar sambandet mellan inomhustemperatur (beroende variabeln) och inkomst (oberoende variabeln)
• Datapunkterna ligger inte på regressionslinjen: passningsmåttet mäter hur väl linjen passar våra data

Statistisk inferens

• Hur säkra är vi på att det skattade sambandet inte uppkommit på grund av slumpen?
• Jämför med förra veckan: kunde vi med säkerhet säga att populationsmedelvärdet \(\mu_X\) inte är lika med, säg, 17 när vi skattar \(\bar{X} = 20\)?
• Om \(b = 0\) finns det inget samband mellan den beroende och den oberoende variabeln; om \(b \neq 0\) finns det ett positivt eller negativt samband
• Vi kan “testa” om det sanna värdet på \(b\) är skilt från noll
• Eftersom vi skattar \(b\) med ett slumpmässigt urval är även \(b\) en slumpsvariabel, och ni vet vad det innebär…

Konfidensintervall

• Alla slumpvariabler följer en sannolikhetsfördelning, detta gäller även för vår skattning av \(b\)
• Den fördelningen är approximativt en normalfördelning (centrala gränsvärdessatsen)
• Därmed vet vi att i 95 av 100 urval kommer vår skattning av \(b\) ligga inom ett visst intervall kring det sanna populationsvärdet
• Och i dessa 95 urval kommer ett liknande intervall runt vår skattning av \(b\) täcka det sanna populationsvärdet
• Vi skapar därmed ett (90, 95, eller 99-procentigt) konfidensintervall runt vår skattning av \(b\) och jämför det med värdet noll

Skapa konfidensintervallet

• Formeln för konfidensintervall för skattningen av \(b\) är

\[b \pm t \times se(b)\]

• Där standardfelet för \(b\) vanligtvis betecknas som \(se(b)\)
• I denna kurs behöver ni inte lära er beräkna \(se(b)\) utan det ges nästan alltid av t.ex. Stata eller andra statistikprogram
• Värdet på \(t\) avgörs av den konfidensnivå man valt (kritiska värdet)
• I denna kurs kan ni använda \(t\) = 1,65 för 90 %, \(t\) = 1,96 för 95 %, \(t\) = 2,58 för 99 %

Exempel: temperatur och inkomst

• Betrakta än en gång vårt exempel med inomhustemperatur och inkomst
• Den skattade lutningskoefficienten för \(b\) är 0,13, och från Stata får vi även \(se(b) = 0{,}065\)
• Antag att vi bestämmer oss för en konfidensnivå på 95%: vi använder då $t = $ 1,96
• Enligt formeln får vi

\[0{,}13 \pm 1{,}96 \times 0{,}065 = 0{,}13 \pm 0{,}1274\]

• Ett 95 % konfidensintervall går från 0,0026 till 0,2574

Statistiskt skilt från 0

• 95 % av de konfidensintervall vi skapar runt vår skattning av \(b\) kommer täcka det sanna värdet på \(b\)
• Eftersom det konfidensintervall vi skapat (på 95 % nivå) inte täcker 0 kan vi utesluta att 0 är det sanna populationsvärdet
• Vi kan så klart enbart utesluta 0 med 95% säkerhet; vad händer om vi vill kunna utesluta 0 med 99 % säkerhet?
• Om vi istället tar \(t =\) 2,58 får vi

\[0{,}13 \pm 2{,}58 \times 0{,}065 = 0{,}13 \pm 0{,}1677\]

• Ett 99% konfidensintervall går från -0,0377 till 0,2977, det vill säga, det täcker 0

Statistiskt skilt från 0

• Vi säger därmed att det skattade sambandet är statistiskt signifikant på 95 % konfidensnivå men inte på 99 %
• Det kan hända att man kan skattar ett icke-statistiskt signifikant samband även när det sanna sambandet faktiskt existerar
  • Urvalet är för litet (påverkar standardfelet \(se(b)\))
  • Det är för lite variation i den oberoende variabeln (även detta påverkar standardfelet)
  • Vi väljer en (för) hög konfidensnivå när vi beräknar konfidensintervallet (jämför med första föreläsningen)
• Därmed finns det risk att man drar slutsatsen att inget samband finns när det i själva verket finns ett samband

Regressionstabeller

• I vetenskapliga studier presenterar man ofta sina resultat i så kallade regressionstabeller
• I tabellen nedan visas skattade koefficienter för modellen där temperatur är den beroende variabeln och inkomst är den oberoende variabeln
• Standardfelen visas inom parentes

	(1)
Konstant	16,43
	(1,858)
Inkomst	0,13
	(0,065)
Observationer	15
\(R^2\)	0,173

Regressionstabeller, flera modeller

• I vetenskapliga studier presenterar man ofta sina resultat i så kallade regressionstabeller
• I tabellen nedan visas skattade koefficienter för modellen där temperatur är den beroende variabeln och inkomst är den oberoende variabeln
• Standardfelen visas inom parentes

	(1)	(2)
Konstant	16,43	…
	(1,858)	(…)
Inkomst	0,13
	(0,065)
Utbildningsår		…
		(…)
Observationer	15	…
\(R^2\)	0,173	…

Antaganden bakom minstakvadratmetoden (överkurs)

← Tillbaka

1. Linjäritet i parametrarna

• Modellen \(Y_i = a + bX_i + e_i\) måste vara linjär i parametrarna \(a\) och \(b\) — inte nödvändigtvis i variablerna själva
• Exempelvis är \(Y_i = a + bX_i^2 + e_i\) fortfarande linjär i parametrarna, trots att \(X^2\) inte är en linjär variabel
• Är antagandet brutet (t.ex. ett verkligt icke-linjärt samband som tvingas in i en rak linje) blir skattningarna missvisande

2. Slumpmässigt urval

• Observationerna ska komma från ett slumpmässigt urval av populationen
• Varje par \((Y_i, X_i)\) ska vara draget oberoende från samma underliggande fördelning
• Ett icke-slumpmässigt urval (t.ex. självselektion) kan göra att urvalet inte representerar populationen, vilket ger missvisande skattningar

3. Nollvillkorat medelvärde (exogenitet)

• Feltermens väntevärde ska vara noll oavsett värdet på \(X\): \(E(e_i \mid X_i) = 0\)
• Innebär att \(X\) inte får vara korrelerad med sådant som påverkar \(Y\) men som inte finns med i modellen (utelämnad variabel-bias)
• Detta är ofta det svåraste antagandet att uppfylla i praktiken, och det mest diskuterade inom empirisk forskning

4. Homoskedasticitet

• Feltermens varians ska vara konstant oavsett värdet på \(X\): \(Var(e_i \mid X_i) = \sigma^2\)
• Motsatsen kallas heteroskedasticitet (variansen skiljer sig åt beroende på \(X\))
• Är antagandet brutet blir standardfelen missvisande (koefficienterna kan dock fortfarande vara korrekta i genomsnitt)